Corrigé de l'épreuve 2002 de probabilités du DEA de Physique Subatomique de Strasbourg (IReS)

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Exercice 1.1 :

On considère une variable continue aléatoire x sur moins l'infini plus l'infini suivant une loi de Gauss de paramètre mu et sigma.
-Donnez l'expression de la loi de Gauss.
-Donnez les conditions pour que cette loi soit une pdf ainsi que sur les paramètres.
-Quelle est la fonction caractéristique (définition générale et expression dans ce cas).
-Faites de même pour sa fonction cumulative

Rappel:

Correction :

Soit x une variable aléatoire sur

suivant une loi de Gauss:

la fonction de densité s'écrit :

Conditions pour que cette loi soit une pdf ainsi que sur les paramètres:

-
-
-

Fonction caractéristique

On fait le changement de variable suivant :

On se sert de l'égalité suivante, la démonstration est prévue sur le web, elle peut être trouvée sur le Monier :

Fonction cumulative

On fait le changement de variable suivant :

et l'on obtient :

La première intégrale vaut 1/2 en raison de la parité de f(x) (cf conditions sur les paramètres) :

Pour la deuxième intégrale, en faisant le changement de variable suivant :

On obtient :

d'où le résultat final :

Exercice 1.2 :

On fait un changement de variable y=exp(x), où x est défini plus haut et suit la loi de Gauss ci-dessus.
-Comment va-t-on calculer la loi de probabilité pour y ?
-Donnez l'expression de la pdf de y.
-Calculez l'espérance mathématique E(y); donnez d'abord sa définition
-Donnez l'expression de la variance de y.

Correction :

On doit trouver la densité de probabilités de g(y).

En tenant compte que x=ln y et qu'il y a conservation des probabilités dans le changement de variables, on a :

ce qui implique :

On obtient donc pour g(y) :

Espérance mathématique

car :

En tenant compte du fait que x=ln y et que :

On a :

On reconnait l'équation de la fonction caractéristique vue dans l'exercice 1.1 :

Variance mathématique

En suivant le même raisonnnement que précédemment :

D'où le résultat final :

Exercice 1.3 :

On dispose d'un ensemble de variables xi,i=1,....,n, et on considère dans le cas le plus général,
la variable aléatoire où les ai sont des constantes.

-Donnez l'expression de l'espérance mathématique E(z).
-Donnez l'expression de la variance V(z) (cas le plus général).

Correction :

Espérance mathématique E(z)

Variance mathématique V(z)

La démonstration de l'expression suivante est prévue, pour l'instant, nous la posons directement :

Rappel:

Exercice 2.1 :

On se réduit à 2 variables aléatoires x et y de

variance et et de corrélation

On fait le changement de variables suivant :

-

-

Calculez les variances V(u), V(v) et la covariance cov(u,v). Qu'en concluez-vous ? Quelle est la

corrélation ?

Correction :

On utilise la relation de la covariance de l'exercice précédent (1.3) :

On obtient pour V(u) :

pour V(v) :

Rappel:

Faisons maintenant le calcul de la covariance de u et v :

u et v ne sont pas corrélés.
La conclusion est que l'on peut fabriquer deux variables non corrélées à partir de deux variables corrélées

Exercice 2.2 :

Ces deux variables aléatoires x et y suivent une loi de Gauss (pdf f(x,y)) avec

et .

Donnez son expression.
Donnez les espérances mathématiques E(x) et E(y).
Calculez la loi de densité de probabilités pour les variables u et v (pdf(h(u,v)).
Que concluez-vous pour ces 2 variables aléatoires u et v.

Correction :

Formule générale de la fonction de densité de la loi normale à deux dimensions :

ici, la fonction de densité s'écrit avec

Espérances mathématiques :

Calculons maintenant la pdf h(u,v), nous avons la relation suivante : il y a conservation des probabilités pour le couple (x,y) et (u,v) :

et donc:

où

est le Jacobien de la transformation

On obtient donc la pdf h(u,v):

Comme on a d'après l'exercice 2.1 :		et

On a donc u et v qui sont ind�pendantes car il y a factorisation de la pdf(u,v)=pdf(u) x pdf(v). Si deux variables X et Y sont statistiquement indépendantes, alors elles sont non corrélées. L'inverse n'est pas nécessairement vrai. En effet, la non-corrélation implique l'indépendance que dans des cas particuliers et le cas des variables aléatoites gaussiennes est l'un de ces cas particuliers.

Exercice 3.1 :

On considère une variable continue t positive, distribuée suivant une loi exponentielle ∝ exp(-t/τ): Donnez l'expression de la pdf f(t) et calculez l'esp�rance mathématique E(t) et la variance V(t). On dispose de N mesures {t_i} de cette variable. On choisit la m�thode du maximum de vraisemblance pour la d�termination du paramètre τ. Rappelez le principe de la méthode et comment vous allez calculer ce paramètre et sa variance. Calculez par la méthode du maximum de vraisemblance l'estimation de τ et sa variance. On dispose de deux échantillons indépendants constitués de N₁ et N₂ mesures, de sorte que l'échantillon total contient N=N₁+N₂ mesures. Calculez l'estimation de τ � partir de ces N mesures en faisant apparâitre les deux contributions τ₁ et τ₂ des sous-échantillons N₁ et N₂.

Correction :

Soit t une variable aléatoire > 0 suivant une loi exponentielle, la pdf s'écrit :


On a de plus :

Espérance mathématique, on intègre par partie :

Variance mathématique :

Nous avons N mesures t_i, i=1,..,N. La méthode du maximum de vraisemblance consiste à determiner l'estimateur τ qui est solution de la maximisation ou minimisation de la fonction de vraisemblance L définie ainsi:

où f(t) est la pdf de la variable t. Le paramètre τ se trouve en minimisant ou maximisant L comme ceci :

Calculons dans notre cas la fonction de vraisemblance L :

On a :

On a donc l'équation suivante à résoudre :

La variance de cette estimation va être dans ce cas (1 seul paramètre) donnée par la dérivée seconde :

On a 2 séries indépendantes N₁ et N₂. Chacune donne son estimateur :

En considérant l'échantillon total N₁+N₂ :

Ce résultat est la moyenne pondérée des deux échantillons.

Exercice 3.2 :

Deux expériences indépendantes ont mesuré (τ₁,σ₁) et (τ₂,σ₂) les &sigma_i représentant l'erreur sur les deux mesures.
(1) A partir de ces deux mesures, en supposant les erreurs gaussiennes, on veut obtenir l'estimation de τ et son erreur. (Combinaison de deux mesures en tenant compte de leurs erreurs).
-Quelle méthode utilisez-vous pour cela ?
-Calculez l'estimation de τ et de son erreur.
(2) A partir des deux mesures indépendantes (τ₁,σ₁) et (τ₂,σ₂) :
définissez le nombre équivalent Ñ₁ et Ñ₂ de chacune des deux mesures; donnez les relations les définissant.
On utilise la méthode du maximum de vraisemblance pour claculer l'estimation de τ à partir de la définition des nombres équivalents d'évènements des deux mesures.
Qu'obtenez-vous pour l'estimation de τ dans ce cas. (Faites apparaître τ₁,σ₁) et (τ₂,σ₂ dans l'expression).
Comparez-la à l'estimation précédente calculée plus haut en (1).

Correction :

On choisit comme dans l'exercice précédent la méthode du maximum de vraisemblance avec la pdf des 2 mesures :

Nous devons maximiser la fonction de vraisemblance suivante :

d'après la condition suivante :

On trouve :

σ_τ est donnée par la dérivée seconde :

Pour ces deux mesures, le nombre équivalent d'évènements Ñ est défini par :

Si on applique le calcul de l'exercie 3.1 avec le nombre équivalent Ñ, on obtient :

On a finalement :